Thuật toán phục hồi số hữu tỉ và bài toán John's PIN

Hôm qua đọc blog của giáo sư Ngô Bảo Châu, thấy có giới thiệu về tạp chí Pi và tạp chí Epsilon, dù ghét học toán nhưng mình rất có hứng với mấy bài toán mang tính thực dụng một tí (bạn bè mình thì toàn bảo là: "Mày thì cái gì không thích =)))"), nên rất là ấn tượng khi thấy trong cuốn Epsilon số đầu tiên có ngay một bài toán rất là thú vị và rất thực tế, đó là bài Thuật toán phục hồi số hữu tỉ do giáo sư Nguyễn Hùng Sơn viết.

Bài toán John's PIN

Bài toán được đăng trong cuốn tạp chí như sau:

Trong quá trình tìm hiểu thì mình thấy có một bài giải khác bằng tiếng Anh là John's PIN được đăng trên trang Math Problem Solving của trường đại học Northwestern University. Nhưng bài báo của giáo sư Nguyễn Hùng Sơn chi tiết hơn nên mình xin phép trích đăng lại và thêm vào một số diễn giải của mình - một người không chuyên về toán ?

Giải bài toán

Để giải bài toán trên, chúng ta sẽ ứng dụng một số lý thuyết về phân số chuỗi (continued fraction) và thuật toán Euclid, chúng ta sẽ cùng lướt qua các khái niệm này trước.

Thuật toán Euclid

Thuật toán Euclid dùng để tìm Ước chung lớn nhất (Greatest Common Divisor) cho hai số nguyên $a$ và $b$ được phát biểu như sau:

$$
UCLN(a, b) = \begin{cases} b, & \text{if } b = 0, \\ UCLN(b, a \bmod b), & \text{if } b \neq 0.
\end{cases}
$$

Hay implement bằng code như sau:

int UCLN(int a, int b) { return (b == 0) ? a : UCLN(b, a % b);
}

Chúng ta có thể chạy thử ("dry run") thuật toán này, ví dụ để tìm ước chung của 2 số 324 và 918, kết quả sẽ là 54:

(Nếu để ý thì bạn sẽ thấy chúng ta không dùng giá trị $a / b$, nhưng tại sao lại ghi vào bảng? Cứ đọc tiếp sẽ rõ :D)

Liên phân số

Liên phân số là một dạng biểu diễn các số thực dương, cả hữu tỉ lẫn vô tỉ dưới dạng một phân số nhiều tầng, ví dụ như:

$$
\displaystyle \frac{9}{7} = 1 + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3 + \frac{1}{2}}
$$

Liên phân số hữu hạn

Một liên phân số hữu hạn là một liên phân số có dạng như sau:

$$
a_0 + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle a_1 + \frac{1}{\displaystyle a_2 + \frac{1}{\displaystyle \cdots + \frac{1}{a_n}}}}
$$

Trong đó $a_0 \in \mathbb{Z}$ và $a_1, \cdots, a_n$ là các số nguyên dương, $a_n > 1$.

Liên phân số trên được kí hiệu là $[a_0 ; a_1, a_2, \cdots, a_{n-1}, a_n]$ hoặc $[a_0 ; a_1, a_2, \cdots, a_{n-1}, a_n - 1, 1]$ trong đó $n$ chính là độ dài của liên phân số.

Biểu diễn số hữu tỉ bằng liên phân số

Mọi số hữu tỉ đều có thể được viết dưới dạng $\frac{a}{b}$ trong đó $a \in \mathbb{Z}$ là số nguyên còn $b \in \mathbb{N}^+$ là số nguyên dương.

Một phân số có thể chuyển thành liên phân số theo phương pháp lặp đi lặp lại 2 bước sau:

• Bước 1: Tách phần nguyên
• Bước 2: Nghịch đảo phần phân số

Ví dụ: Chuyển phân số $\frac{1517}{1073}$ thành liên phân số:

Vì $1517 = 1073 + 444$ nên ta có thể tách phân số trên thành:

$$
\displaystyle \frac{1517}{1073} = \frac{1073}{1073} + \frac{444}{1073} = 1 + \frac{444}{1073} \tag{1}
$$

Ta có thể nghịch đảo phân số $\frac{444}{1073}$ và thay vào $(1)$ như sau:

$$
\displaystyle 1 + \frac{444}{1073} = 1 + \frac{1}{\frac{1073}{444}} \tag{2}
$$

Lặp lại, ta có thể tách phân số $\frac{1073}{444}$ thành:

$$
\displaystyle \frac{1073}{444} = \frac{444}{444} + \frac{444}{444} + \frac{185}{444} = 2 + \frac{185}{444}
$$

Thay vào $(2)$ ta được:

$$
\displaystyle \frac{1517}{1073} = 1 + \frac{1}{\displaystyle \frac{1073}{444}} = 1 + \frac{1}{2 + \frac{185}{444}} \tag{3}
$$

Tiếp tục nghịch đảo phân số $\frac{185}{444}$ rồi thay vào $(3)$, rồi lặp đi lặp lại 2 bước đó, ta được kết quả như sau:

$$
\displaystyle \frac{1517}{1073} = 1 + \displaystyle \frac{1}{\displaystyle 2 + \frac{1}{\displaystyle 2 + \frac{1}{ 2 + \frac{1}{2}}}}
$$

Như vậy, ta đã chuyển phân số $\frac{1517}{1073}$ thành liên phân số $[1; 2, 2, 2, 2]$.

Mối liên quan giữa thuật toán Euclid và Liên phân số

Có một sự liên quan thú vị giữa thuật toán Euclid và phương pháp tìm Liên phân số, trước tiên, hãy cùng áp dụng thuật toán Euclid cho 2 số 1517 và 1073, quá trình tính toán sẽ như sau:

Nhìn vào bảng trên ta có thể thấy ngay luôn, cột a / b của thuật toán Euclid chính là liên phân số $[1; 2, 2, 2, 2]$ mà chúng ta cần tìm. Vì thế, ta có thể dễ dàng implement thuật toán tìm liên phân số bằng cách áp dụng thuật toán Euclid nhưng ở mỗi bước, thì ta viết ra giá trị của a / b.

Ví dụ, implement của thuật toán tìm liên phân số cho phân số $\frac{a}{b}$:

std::vector<int> lien_phan_so(int a, int b) { std::vector<int> result; int r; while (b != 0) { result.push_back(a / b); r = a % b; a = b; b = r; } return result;
}

OK, vậy nãy giờ đọc mấy cái này để làm gì ta?

Phục hồi số hữu tỉ

Trước hết, chúng ta có thể đồng ý rằng, nếu $\frac{p}{q}$ và $\frac{r}{s}$ là hai phân số có tử số, mẫu số đều là các số có 3 chữ số, và giống nhau ít nhất đến chữ số thứ 6 sau dấu phẩy thì $\bigg| \frac{p}{q} - \frac{r}{s} \bigg| < 10^{-6}$. Từ đó suy ra:

$$
|ps - qr| \leqslant qs \cdot 10^{-6} < 10^3 \cdot 10^3 \cdot 10^{-6} = 1
$$

Vì $p, s, q, r$ là các số nguyên và $0 \leqslant |ps - qr| < 1|$, từ đó suy ra:

$$
\begin{aligned}
ps - qr &= 0 \\
\\
\Rightarrow \displaystyle \frac{p}{q} &= \displaystyle \frac{r}{s}
\end{aligned}
\tag{4}
$$

Quay lại bài toán John's PIN, rõ ràng một cách đơn giản nhất để vị giáo sư có thể tìm ra được mã PIN là bruteforce, thử tất cả mọi phân số có dạng $\frac{abc}{def}$, tuy nhiên bruteforce là giải pháp tệ nhất, đơn giản vì không biết nó chạy đến khi nào mới xong.

Vì vậy chúng ta sẽ giải bài toán này theo cách khác hiệu quả hơn đó là khai triển mã PIN (tạm gọi là $r$) cần tìm thành dạng liên phân số:

$$
r = [a_0; a_1, a_2, a_3, \cdots] = a_0 + \displaystyle \frac{1}{ a_1 + \displaystyle \frac{1}{ a_2 + \displaystyle \frac{1}{ a_3 + \cdots }}}
$$

Với mỗi phần tử $a_k$ là mỗi số nguyên và được tính bằng thuật toán Euclid chuyển số thực thành liên phân số:

$$
r_0 = r \text{, } a_n = \lfloor r_n \rfloor \text{, } r_{n+1} = \displaystyle \frac{1}{r_n - a_n} \tag{5}
$$

Vì số hữu tỉ luôn chuyển được về dạng liên phân số hữu hạn, nên cuối cùng ta sẽ có $a_n = r_n$, tại lúc đó ta sẽ dừng tính toán và thu thập kết quả. Trong một số trường hợp do bị làm tròn số, kết quả $r_n - a_n$ có thể không chính xác bằng 0 được, nhưng ta có thể biết khi nào thì giá trị này đủ nhỏ để có thể dừng tính toán.

Đối với $r$ = 0.195323246, ta sẽ tính được các giá trị $a_0$ = 0, $a_1$ = 5, $a_2$ = 8, $a_3$ = 2, $a_4$ = 1, $a_5$ = 5, lúc này, kết quả $r_5 - a_5$ = 0.00011475..., đã là đủ nhỏ để có thể dừng tính toán, nên ta sẽ thu được kết quả:

$$
r = [0; 5, 8, 2, 1, 5] = \displaystyle \frac{1}{ 5 + \displaystyle \frac{1}{ 8 + \displaystyle \frac{1}{ 2 + \displaystyle \frac{1}{ 1 + \displaystyle \frac{1}{5} }}}} = \displaystyle \frac{142}{727}
$$

Cuối cùng, chúng ta kiểm chứng kết quả thu được cho thấy kết quả gần chính xác:

$$
\displaystyle \frac{142}{727} = 0.195323246\cdots
$$

Dựa vào điều $(4)$ đã chứng minh ở trên, chúng ta có thể kết luận $\frac{142}{727}$ chính là $\frac{abc}{def}$ và mã PIN cần tìm chính là 142727.

Một số điểm cần bổ sung

• Tìm thêm thông tin cho thuật toán Euclid $(5)$ dùng để chuyển một số thực thành liên phân số.
• Implement thuật toán $(5)$

Tham khảo

[1] Nguyễn Hùng Sơn, "Thuật toán phục hồi số hữu tỉ", Epsilon số 1 (2015), pp. 21-30.

[2] Miguel A. Lerma, "John's PIN", Northwestern University Math Problem Solving Group (2003)